Applicazione = Funzione
Data la seguente funzione $$ f: R^2 \to R ; f(x,y) = x+y $$ Possiamo vedere che conserva la somma $$ \begin{array}[ccc] ((x,y) & + & (x^1, y^1) & = & (x+x^1, y+y^1) \\ \downarrow f & & \downarrow f& & \downarrow f\\ x+y & & x^1+y^1 & = & (x+x^1)+(y+y^1) \end{array}\\ $$ E conserva il prodotto $$ \begin{array} a(x, y) & = & (ax, ay) \\ \downarrow f & & \downarrow f \\ a(x+y) & = & ax+ay \end{array} $$
Data l'applicazione $f:V \to W$ è un applicazione lineare se
Questa funzione è lineare.
Per controllare controllo se conserva la somma
$$
\begin{aligned}
f(x, y, z) + f(x^1, y^1, z^1) & = f(x+x^1, y+y^1, z+z^1) \\
(x, y+z) + (x^1, y^1+z^1) & = (x+x^1, (y+y^1)+(z+z^1)) \\
(x+x^1, y+y^1+z+z^1) & = (x+x^1, y+y^1+z+z^1)
\end{aligned}
$$
E controllo se conserva il prodotto
$$
\begin{aligned}
af(x, y, z) & = f(ax, ay, az) \\
a(x, y+z) & = (ax, ay+az) \\
(ax, a(y+z)) & = (ax, a(y+z))
\end{aligned}
$$
Dato che entrambe le proprietà sono confermate allora $f$ è un applicazione lineare.
Testo se mantiene la somma $$ \begin{array}[ccc] ff(x, y) + f(x_1, y_1) & = & f(x+x_1, y+y_1) \\ x^2 + x_1^2 & = & (x+x_1)^2 \\ x^2 + x_1^2 & \ne & x^2 + 2xx_1 + x_1^2 \end{array} $$ Testo se mantiene il prodotto $$ \begin{array}[ccc] aaf(x, y) & = & af(ax, ay) \\ ax^2 & = & (ax)^2 \\ ax^2 & \ne & a^2x^2 \\ \end{array} $$ Non conserva ne la somma ne il prodotto quindi non è un'applicazione lineare.
Data $f:V \to W$ Allora:
$\operatorname{Ker}f$ (Nucleo) è l'insieme dei valori del dominio che annullano l'applicazione. Il nucleo è sempre un sottospazio vettoriale del dominio della funzione.
$\operatorname{Im}f$ (Immagine) è l'insieme dei vettori di W che si possono ottenere applicando fa un vettore di V. Anche l'immagine è sempre un sottospazio vettoriale del codominio dell'applicazione.
Un applicazione f in cui $\operatorname{Ker}f = \{0_v\}$ cioè il cui nucleo contiene solo l'elemento nullo, si dice iniettiva.
Significa che:
$$
v \ne v_1 \iff f(v) \ne f(v_1)
$$
Iniettiva!
Un applicazione f si dice suriettiva se $$ f:V \to W; f(x) = y \\ \forall w \in W \exists v \in V; f(v) = w $$ Si può valutare rispetto all'immagine dell'applicazione $$ \operatorname{Im}f = W \iff f \text{ è suriettiva} $$
Suriettiva!
Se un'applicazione è contemporaneamente suriettiva e iniettiva viene detta biiettiva o anche detta isomorfismo
Dato che posso trovare x e y arbitrari che dipendono solo da $\alpha$ e $\beta$ allora il l'immagine coincide con tutto $W$, quindi questa applicazione e Suriettiva. Ma prima avevo dimostrato che è anche iniettiva. Quindi è biiettiva!
Date le due funzioni $$ f: V \to W; g: W \to Z; \\ f\circ g = g(f(x))\\ $$